應用數學(xué)

緊貼職業(yè)教育的職業(yè)屬性

各層次各專(zhuān)業(yè)可彈性選擇

配套豐富多樣的數字資源

融入思政元素和人文元素

姜大源在《高等職業(yè)教育的定位》中指出：“培養目標指向高技能人才培養的高等職業(yè)教育，應遵循基于職業(yè)屬性的教育規律。”“應用數學(xué)”作為高等職業(yè)院校理工類(lèi)、經(jīng)管類(lèi)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的公共必修課，教材以高職專(zhuān)科、職業(yè)本科的人才培養目標以及普通高等院校專(zhuān)升本考試大綱為依據，以突出思想性、基礎性、發(fā)展性、應用性、職業(yè)性為原則，結合專(zhuān)業(yè)課需求，滿(mǎn)足學(xué)生可持續發(fā)展需要，圍繞學(xué)生的個(gè)性需求和知識水平進(jìn)行編寫(xiě)。本教材有如下特色：

一是內容編排的邏輯起點(diǎn)緊貼職業(yè)教育的職業(yè)屬性，在保持數學(xué)課程知識體系科學(xué)性的同時(shí)，每一節的內容均按任務(wù)驅動(dòng)法的教學(xué)步驟和流程進(jìn)行知識點(diǎn)編排，按“問(wèn)題情景（任務(wù)提出）—工具尋找（概念提出）—掌握技能（解題訓練）—問(wèn)題解決（任務(wù)完成）—結果合理性判斷”的架構組織內容。每節的開(kāi)始，提出一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，指出解決此問(wèn)題所需要的數學(xué)知識技能，然后提出學(xué)習目標，隨后開(kāi)展知識學(xué)習，在掌握了相關(guān)知識技能后，每節的節末用所學(xué)知識技能解決開(kāi)始提出的問(wèn)題，使學(xué)生得到數學(xué)“有用”的收獲，提高學(xué)習的主動(dòng)性。

二是內容講述適應高等職業(yè)院校學(xué)生的學(xué)情特點(diǎn)，降低難度，強化應用。根據高等職業(yè)院校學(xué)生學(xué)習基礎偏弱的實(shí)際情況，在保證數學(xué)概念準確性的前提下，淡化理論推導，強化應用實(shí)效，盡量借助幾何直觀(guān)圖形和實(shí)際意義闡述相關(guān)內容，內容由淺入深、簡(jiǎn)明扼要、通俗易懂。每章的章首設立了“課前導學(xué)”和“知識脈絡(luò )”，幫助學(xué)生在章節學(xué)習前對整章的內容有框架性的了解，以提高學(xué)生學(xué)習的系統性。“知識脈絡(luò )”的前置可以克服以往學(xué)習數學(xué)時(shí)“不識廬山真面目，只緣身在此山中”的不足。

三是教材內容適于各層次、各專(zhuān)業(yè)學(xué)生彈性選擇使用，教材主體內容在滿(mǎn)足后續專(zhuān)業(yè)課所需的前提下，按大多數省份高職畢業(yè)生專(zhuān)升本招生考試大綱進(jìn)行編寫(xiě)，比如一元函數微分學(xué)及應用、一元函數積分學(xué)及應用、常微分方程等內容。同時(shí)，教材也可作為職業(yè)本科各專(zhuān)業(yè)高等數學(xué)教材使用，編排有二元函數微分學(xué)、二重積分、無(wú)窮級數等內容。各章節中還對有關(guān)知識點(diǎn)設置“進(jìn)階模塊”，供不同需求的專(zhuān)業(yè)及學(xué)生選用。

四是注重教材內容與信息化教學(xué)資源的結合。為延展學(xué)生學(xué)習的時(shí)空，幫助學(xué)生有效地理解和掌握所學(xué)知識，對重要的知識點(diǎn)建有網(wǎng)絡(luò )教學(xué)資源，配以視頻講解等。教材中每章最后針對本章的數學(xué)知識點(diǎn)設有“數學(xué)實(shí)訓”，教會(huì )學(xué)生懂得操作軟件MATLAB以解決數學(xué)問(wèn)題，推動(dòng)學(xué)生學(xué)習的參與度，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng )新欲望，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。多形態(tài)教學(xué)資源的組合有利于線(xiàn)下線(xiàn)上混合式的教學(xué)，培養學(xué)生的自主學(xué)習能力。

五是深入挖掘思政元素、人文元素、數學(xué)文化元素，并融入教材中。如每章的章首設置的“名人名言”，其中有偉大導師馬克思、恩格斯、列寧對數學(xué)的高度評價(jià)；在每章的章末設置的“知識延展”，編排有“對極限概念作出貢獻的中外數學(xué)家”“歷史上的第二次數學(xué)危機”“馬克思、恩格斯與微積分的淵源”“數學(xué)里的美學(xué)”“數學(xué)與語(yǔ)言學(xué)”“數學(xué)與藝術(shù)的交互融合”等內容，這些延展內容提升了學(xué)生的文化修養，使學(xué)生切身感受人文情懷，培養學(xué)生積極進(jìn)取、腳踏實(shí)地的作風(fēng)，增強學(xué)生的文化自信和愛(ài)國情懷。

六是教材配套較豐富的習題、章節測驗題并提供參考答案，每節的習題與該節的內容匹配度高，幫助學(xué)生理解和掌握知識點(diǎn)。習題根據難易程度進(jìn)行分層，以滿(mǎn)足不同層次學(xué)生、不同專(zhuān)業(yè)的教學(xué)目標要求，通過(guò)一定量的習題訓練，有助于提高學(xué)生的自信心，增加學(xué)習的興趣。

本教材由吳小寧擔任主編，鄧積銀擔任副主編，參編人員有蔣邕平、鐘毓、劉馨勵、劉鑫琳、馮少衛等，所有編者均為具有豐富的高等職業(yè)院校教學(xué)經(jīng)驗的一線(xiàn)教師。教材在組織編寫(xiě)和統稿過(guò)程中，參考了大量高等數學(xué)相關(guān)文獻，在此向這些文獻的作者表示衷心的感謝。

在編寫(xiě)過(guò)程中，我們雖然期望盡力把工作做好，但由于水平有限，書(shū)中難免有不足之處，敬請廣大專(zhuān)家及讀者批評指正。

編 者

2024年3月

序
前言
第1章 變量與函數1
課前導學(xué) 1
知識脈絡(luò ) 1
1.1 區間、鄰域 2
1.1.1 區間的概念2
1.1.2 鄰域的概念3
1.2 函數4
1.2.1 函數的概念4
1.2.2 函數的基本特性6
1.3 初等函數8
1.3.1 基本初等函數9
1.3.2 復合函數11
1.3.3 初等函數12
1.3.4 分段函數12
數學(xué)實(shí)訓一 MATLAB算法基礎及繪圖 13
知識延展 微積分：科學(xué)史上劃時(shí)代的貢獻17
第2章 極限與連續18
課前導學(xué) 18
知識脈絡(luò ) 18
2.1 極限的概念19
2.1.1 數列極限的定義19
2.1.2 函數極限的概念21
2.2 極限的運算25
2.3 兩個(gè)重要極限28
2.3.1 第一個(gè)重要極限 29
2.3.2 第二個(gè)重要極限 31
2.4 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量33
2.4.1 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的定義33
2.4.2 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系34
2.4.3 無(wú)窮小量的比較35
2.5 函數的連續性37
2.5.1 函數連續性的概念37
2.5.2 函數的間斷點(diǎn)及分類(lèi)39
2.5.3 連續函數的基本性質(zhì)40
2.5.4 閉區間上連續函數的性質(zhì)41
數學(xué)實(shí)訓二 利用MATLAB求函數的極限 43
知識延展 對極限概念作出貢獻的中外數學(xué)家44
第3章 一元函數微分學(xué)46
課前導學(xué) 46
知識脈絡(luò ) 46
3.1 導數的概念47
3.1.1 導數的定義47
3.1.2 導數的物理意義和幾何意義51
3.1.3 函數的可導性與連續性的關(guān)系52
3.2 函數的求導法則53
3.2.1 導數的基本公式54
3.2.2 導數的四則運算法則55
3.2.3 復合函數求導法則56
3.2.4 隱函數求導法則57
3.3 函數的微分與應用61
3.3.1 微分的概念62
3.3.2 微分基本公式和運算法則63
3.3.3 微分在近似計算中的應用64
3.3.4 由參數方程表示的函數的導數65
3.4 高階導數68
3.4.1 高階導數的定義68
3.4.2 隱函數的二階導數（進(jìn)階模塊）69
3.4.3 參數方程表示的函數的
二階導數（進(jìn)階模塊）69
數學(xué)實(shí)訓三 利用MATLAB求函數的導數 71
知識延展 歷史上的第二次數學(xué)危機 72
第4章 微分中值定理
與導數的應用73
課前導學(xué) 73
知識脈絡(luò ) 73
4.1 微分中值定理與洛必達法則 74
4.1.1 羅爾（Rolle）中值定理74
4.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理75
4.1.3 柯西（Cauchy）中值定理77
4.1.4 洛必達法則77
4.2 函數的單調性與極值82
4.2.1 函數的單調性83
4.2.2 函數的極值85
4.2.3 函數的最大值、最小值87
4.3 曲線(xiàn)凹凸性及函數作圖90
4.3.1 函數曲線(xiàn)的凹凸性及拐點(diǎn)90
4.3.2 函數作圖92
4.4 導數在經(jīng)濟分析中的應用95
4.4.1 邊際分析95
4.4.2 彈性分析96
4.4.3 經(jīng)濟分析中的最值問(wèn)題97
數學(xué)實(shí)訓四 利用MATLAB求函數的極值 99
知識延展 馬克思、恩格斯與微積分的淵源 101
第5章 一元函數積分學(xué)
及其應用102
課前導學(xué) 102
知識脈絡(luò ) 102
5.1 不定積分的概念與性質(zhì)103
5.1.1 原函數與不定積分的概念103
5.1.2 不定積分的幾何意義 105
5.1.3 基本積分公式105
5.1.4 不定積分的性質(zhì)106
5.1.5 直接積分法107
5.2 不定積分的換元法與分部積分法108
5.2.1 第一類(lèi)換元積分法109
5.2.2 第二類(lèi)換元積分法111
5.2.3 分部積分法114
5.3 定積分的概念與性質(zhì)117
5.3.1 定積分的概念118
5.3.2 定積分的幾何意義121
5.3.3 定積分的性質(zhì)122
5.3.4 積分變上限函數及其導數124
5.4 微積分基本公式和定積分的積分方法126
5.4.1 牛頓—萊布尼茨公式127
5.4.2 定積分的換元積分法128
5.4.3 定積分的分部積分法129
5.5 廣義積分131
5.5.1 無(wú)窮區間上的廣義積分132
5.5.2 無(wú)界函數的廣義積分（進(jìn)階模塊）133
5.6 定積分的應用135
5.6.1 平面圖形面積135
5.6.2 旋轉體體積138
5.6.3 平行截面面積已知的
立體體積（進(jìn)階模塊）139
5.6.4 定積分在物理中的應用（進(jìn)階模塊）140
數學(xué)實(shí)訓五 利用MATLAB求函數的積分 142
知識延展 數學(xué)里的美學(xué) 143
第6章 常微分方程145
課前導學(xué) 145
知識脈絡(luò ) 145
6.1 微分方程的基本概念146
6.2 一階微分方程150
6.2.1 可分離變量的微分方程150
6.2.2 齊次方程（進(jìn)階模塊）152
6.2.3 一階線(xiàn)性微分方程153
6.3 三類(lèi)可降階的微分方程157
6.3.1  型158
6.3.2 型（進(jìn)階模塊）158
6.3.3 型（進(jìn)階模塊）159
6.4 二階線(xiàn)性微分方程161
6.4.1 二階線(xiàn)性微分方程解的結構161
6.4.2 二階常系數齊次線(xiàn)性微分方程的
求解163
6.4.3 二階常系數非齊次線(xiàn)性微分方程的
求解（進(jìn)階模塊）165
數學(xué)實(shí)訓六 利用MATLAB求解微分方程 169
知識延展 數學(xué)建模：數學(xué)應用的顯化 171
第7章 二元函數微分學(xué)172
課前導學(xué) 172
知識脈絡(luò ) 172
7.1 二元函數的概念、極限與連續性173
7.1.1 二元函數的概念173
7.1.2 二元函數的極限174
7.1.3 二元函數的連續性175
7.2 二元函數偏導數177
7.2.1 偏導數的概念178
7.2.2 高階偏導數179
7.2.3 偏導數的幾何意義180
7.3 全微分182
7.3.1 全微分的概念183
7.3.2 函數可微的條件184
7.3.3 全微分的計算185
7.3.4 全微分在近似計算中的應用185
7.4 二元復合函數求導法則187
7.4.1 二元復合函數的一階偏導數187
7.4.2 二元復合函數的高階
偏導數（進(jìn)階模塊）190
7.4.3 隱函數的求導法則191
7.5 偏導數的應用194
7.5.1 二元函數的極值195
7.5.2 拉格朗日乘數法196
數學(xué)實(shí)訓七 利用MATLAB求多元函數的
偏導數199
知識延展 數學(xué)與語(yǔ)言學(xué) 200
第8章 二重積分202
課前導學(xué) 202
知識脈絡(luò ) 202
8.1 二重積分的概念與性質(zhì)203
8.1.1 二重積分的概念203
8.1.2 二重積分的性質(zhì)206
8.2 二重積分的計算209
8.2.1 預備知識209
8.2.2 直角坐標系下二重積分的計算210
8.2.3 極坐標系下二重積分的計算216
8.3 二重積分的應用220
8.3.1 二重積分在幾何中的應用220
8.3.2 二重積分在物理中的應用221
數學(xué)實(shí)訓八 利用MATLAB求多重積分 226
知識延展 數學(xué)與計算機的不解之緣 227
第9章 無(wú)窮級數228
課前導學(xué) 228
知識脈絡(luò ) 228
9.1 常數項級數的概念與性質(zhì)229
9.1.1 常數項級數的概念229
9.1.2 常數項級數的性質(zhì)232
9.2 級數收斂判別法233
9.2.1 正項級數及其審斂法235
9.2.2 交錯級數及其審斂法239
9.3 冪級數244
9.3.1 冪級數的概念244
9.3.2 冪級數收斂域的求法245
9.3.3 冪級數的性質(zhì)248
9.4 函數展開(kāi)成冪級數250
9.4.1 任意階可導函數的泰勒級數251
9.4.2 幾個(gè)基本初等函數的麥克勞林級數251
9.4.3 初等函數展開(kāi)成冪級數252
數學(xué)實(shí)訓九 利用MATLAB求和函數與
泰勒級數的應用254
知識延展 數學(xué)與藝術(shù)的交互融合 256
參考文獻257

1. 新時(shí)代勞動(dòng)教育與實(shí)踐 [鞠向超]
2. 信息系統項目管理師真題及沖刺卷精析（適用機考） [主編 薛大龍]
3. 系統集成項目管理工程師真題及沖刺卷精析（適用機考） [主編 薛大龍 副主編 唐徽 劉]
4. Linux服務(wù)器構建與運維管理從基礎到實(shí)戰（基于openEuler） [阮曉龍 馮順磊 杜宇飛 劉明哲]
5. 網(wǎng)絡(luò )安全原理與應用（第三版） [戚文靜 劉學(xué) 李國文 王震]
6. 信息系統監理師章節習題與考點(diǎn)特訓（適用第2版考綱） [薛大龍]
7. 大學(xué)生創(chuàng )新創(chuàng )業(yè)實(shí)踐——經(jīng)濟管理類(lèi) [許忠榮]
8. 思考的藝術(shù)：讓創(chuàng )新成為你的DNA（第二版） [楊璐璐 武 曉]
9. 走進(jìn)東盟（慕課版） [主編　李太生　李瑩　黃詩(shī)雅]
10. Photoshop圖像處理與制作（第2版） [林龍健 李觀(guān)金 張倩文 黃龍泉]
11. 航空發(fā)動(dòng)機試車(chē) [主編　都昌兵　舒　毅]
12. 汽車(chē)評估學(xué)（第三版） [趙培全]
13. 大學(xué)計算機基礎實(shí)訓指導（Windows 10+WPS Office 2019） [吳志攀 王健海]
14. 高職英語(yǔ)語(yǔ)法教程 [主編 汪莉 高小兵 張學(xué)儀]
15. 系統集成項目管理工程師章節習題與考點(diǎn)特訓（配套第三版大綱） [薛大龍]
16. 青少年親子編程—趣學(xué)Python（全彩 微課版） [黃明游 著(zhù)]
17. 英美文學(xué)導論 [晏玉屏]
18. Linux服務(wù)器配置與管理項目教程（微課版）（第2版） [主 編 宋麗娜 常麗媛 蔣一鋤]
19. 大學(xué)生勞動(dòng)教育與實(shí)踐 [嚴光文 胡金朝 邊仕英]
20. 大學(xué)計算機基礎（第二版） [王家寧 張世龍]
21. 計算機應用基礎 [楊玉斌 戰祥德 孫豐偉]
22. 排球教程 [楊柳青 邱 峰 黃智譽(yù)]
23. 大學(xué)生創(chuàng )新創(chuàng )業(yè)實(shí)踐——數學(xué)類(lèi) [主編 吳天慶]
24. 信息技術(shù)（文科版） [主編 李佳 楊纓]
25. C語(yǔ)言程序設計 [魏琴 劉祖珉 趙仕波 肖陽(yáng)春]
26. 新媒體電商：從技能學(xué)習到實(shí)踐應用 [郭曉花 孟柳樊]
27. 計算機應用基礎項目實(shí)訓教程 [楊玉斌 戰祥德 孫豐偉]
28. 計算機應用基礎（第四版） [王向慧 王志飛]
29. 計算機應用基礎實(shí)訓教程（第四版） [王向慧 張卓]
30. 計算機信息技術(shù)基礎（第2版） [付玲 肖楊 夏雪飛]